Question

【題目】已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是，點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)是，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若，且，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，且，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、即可得結(jié)果；(2) 設(shè)直線l的方程為，由，可得,由韋達(dá)定理求得的坐標(biāo)，由數(shù)量積公式求得的坐標(biāo)，從而求得的坐標(biāo)，根據(jù)列方程求解的值，從而可得結(jié)果.

(1)因?yàn)闄E圓方程為，點(diǎn)M在直線上，且點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點(diǎn)，則點(diǎn)．

，

，解得．

∴橢圓方程為；

（2）設(shè)直線l的方程為，，

由，可得

解得或，所以，

設(shè)，有

由，得 ，

所以，解得

由，得P為OA的垂直平分線與l的交點(diǎn)，所以

由，得，得，解得

所以，直線l的方程為