Question

14．已知正實數(shù)m，n滿足m+n=1，當$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$取得最小值時，曲線y=x^α過點P（$\frac{m}{5}$，$\frac{n}{4}$），則α的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由條件可得$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$）=17+$\frac{n}{m}$+$\frac{16m}{n}$，運用基本不等式可得最小值，及等號成立的條件，代入可得P的坐標，再由P滿足曲線方程，可得α的值．

解答 解：正實數(shù)m，n滿足m+n=1，
$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$）=17+$\frac{n}{m}$+$\frac{16m}{n}$
≥17+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{16m}{n}}$=25，
當且僅當n=4m=$\frac{4}{5}$時，取得最小值25，
曲線y=x^α過點P（$\frac{m}{5}$，$\frac{n}{4}$），即有P（$\frac{1}{25}$，$\frac{1}{5}$），
可得$\frac{1}{5}$=（$\frac{1}{25}$）^α，解得α=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意運用乘1法，同時考查方程思想和代入法，計算能力，屬于中檔題．