Question

8．定義在R上的函數(shù)f（x），恒有f（-x）+f（x）=0，且對(duì)任意x₁，x₂∈R有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0成立．若對(duì)t∈[0，2]均有f（2t²-4）+f（4m-2t）≥f（0）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意求得f（x）在R上是減函數(shù)，是奇函數(shù)，再根據(jù)對(duì)t∈[0，2]均有f（2t²-4）+f（4m-2t）≥f（0）成立，從而得到2t²-4≤2t-4m，即m≤-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+1，t∈[0，2]，由此求得t的取值范圍．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x），恒有f（-x）+f（x）=0，
∴f（x）是奇函數(shù)
又對(duì)任意x₁，x₂∈R有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0成立，
∴f（x）在R上是減函數(shù)
∴f（0）=0，
∵對(duì)t∈[0，2]均有f（2t²-4）+f（4m-2t）≥f（0）成立，
∴2t²-4≤2t-4m，
∴m≤-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+1，t∈[0，2]
令g（t）=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+1，∵t∈[0，2]，[g（t）]_min=g（2=0，
∴m≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．