Question

16．在平行四邊形ABCD中，∠BAD=60°，E是CD上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$，|$\overrightarrow{AB}$|=λ|$\overrightarrow{AD}$|．若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{EB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$²，則λ等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由向量的加減運(yùn)算，可得E是CD的中點(diǎn)，再由向量的平行四邊形和三角形法則，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，可得2λ²-λ-6=0，解方程可得所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DE}$，
得$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，即E是CD的中點(diǎn)，
則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{EB}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AD}$²，
由∠BAD=60°，|$\overrightarrow{AB}$|=λ|$\overrightarrow{AD}$|，
可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{EB}$=$\frac{1}{2}$λ²$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{1}{2}$λ$\overrightarrow{AD}$²•$\frac{1}{2}$-$\overrightarrow{AD}$²，
由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{EB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$²，
即有2λ²-λ-6=0，
得λ=2或λ=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．