Question

已知向量

a

=（cos

x

2

，sin

x

2

），

b

=（cos

x

2

，cos

x

2

），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的單調遞減區(qū)間，并在給出的方格紙上用五點作圖法作出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象；
（2）求證：函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間[-

π

2

，

π

3

]上不存在與直線y=

3

2

x平行的切線．

Answer 1

分析：（1）先利用向量數(shù)量積運算的性質寫出函數(shù)f（x）的解析式，再利用二倍角公式和兩角和的正弦公式，將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)，最后利用整體代入法求出單調減區(qū)間，利用五點作圖法畫出要求圖象即可
（2）先求函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x），再證明導函數(shù)f′（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

3

]上的最大值小于直線y=

3

2

x的斜率，最后利用導數(shù)的幾何意義說明結論

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=cos²

x

2

+sin

x

2

cos

x

2

=

1

2

cosx+

1

2

sinx+

1

2

=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

，
令2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，則2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，k∈Z，
∴f（x）的單調遞減區(qū)間為[2 kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z．
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

7

4

π]上的簡圖如下：

（2）證明：由（1）知，f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

，
∴f′（x）=

2

2

cos（x+

π

4

），
∵x∈[-

π

2

，

π

3

]，∴x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

12

]，
∴f′（x）=

2

2

cos（x+

π

4

）≤

2

2

＜

3

2

．
∴函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間[-

π

2

，

π

3

]上不存在與直線y=

3

2

x平行的切線．

點評：本題綜合考查了向量數(shù)量積運算、三角變換公式、y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質、導數(shù)的幾何意義等基礎知識，有一定難度