Question

9．做一個(gè)圓柱形鍋爐，容積為V，兩個(gè)底面的材料每單位面積的價(jià)格為a元，側(cè)面的材料每單位面積的價(jià)格為b元，當(dāng)造價(jià)最低時(shí)，鍋爐的底面直徑與高的比為（　�。�

• A． $\frac{a}$
• B． $\frac{a^2}$
• C． $\frac{a}$
• D． $\frac{b^2}{a}$

Answer 1

分析 設(shè)鍋爐的高h(yuǎn)與底面直徑d的比為k=$\frac{h}jdfrvv5$，運(yùn)用圓柱的表面積公式和體積公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)且為最值點(diǎn)，即可得到．

解答 解：設(shè)鍋爐的高h(yuǎn)與底面直徑d的比為k=$\frac{h}nltvlj7$，
由V=$\frac{πh75xzbz^{2}}{4}$h=$\frac{πhhnlxf5^{2}}{4}$•kd=$\frac{π}{4}$kd³，
可得d=$\root{3}{\frac{4V}{kπ}}$，h=kd=$\root{3}{\frac{4v{k}^{2}}{π}}$，
設(shè)造價(jià)為y，則y=2π•（$\frachb5d7lb{2}$）²•a+πdh•b，
則y′=$\frac{πa}{2}•\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}•（-\frac{2}{3}）{k}^{-\frac{5}{3}}$+$πb•\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}•\frac{1}{3}{k}^{-\frac{2}{3}}$
令y′=0，解得k=$\frac{a}$，可得此時(shí)y取得最小值．
故當(dāng)造價(jià)最低時(shí)，鍋爐的高與底面直徑的比為$\frac{a}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)在實(shí)際問題中的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求最值，同時(shí)考查圓柱的表面積和體積的運(yùn)用，屬于中檔題．