Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-

1

2

n2+kn(k∈N*)，且S_n的最大值為8．
（1）確定常數(shù)k，求a_n；
（2）求S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|（n∈N^*）
（3）求數(shù)列{

9-2an

2n

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用二次函數(shù)的單調(diào)性、遞推式的意義即可得出a_n．
（2）由題意得|a_n|=

9 2 -n，1≤n≤4 n- 9 2 ，n≥5

．對(duì)n分類(lèi)討論，即可得出S_n．
（3）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵Sn=-

1

2

n2+kn=-

1

2

(n-k)2+

1

2

k2
∴當(dāng)n=k時(shí)，S_n取得最大值．
∴

1

2

k2=8，解得k=4，此時(shí)Sn=-

1

2

n2+4n．
由

Sn=- 1 2 n2+4n Sn-1=- 1 2 (n-1)2+4(n-1)

得an=-n+

9

2

(n≥2)．
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=-

1

2

+4=

7

2

，符合上式，
∴an=-n+

9

2

．
（2）由題意，得|a_n|=

9 2 -n，1≤n≤4 n- 9 2 ，n≥5

．
當(dāng)1≤n≤4時(shí)，S_n=

n( 7 2 + 9 2 -n)

2

=4n-

1

2

n2．
當(dāng)n≥5時(shí)，S_n=4×4-

1

2

×42+

(n-4)( 1 2 +n- 9 2 )

2

=

1

2

n2-4n+16．
∴Sn=

4n- 1 2 n2，1≤n≤4 1 2 n2-4n+16，n≥5

．
（3）∵b_n=

9-2an

2n

=

n

2n-1

，
∴T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
兩式向減可得，

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

，
∴T_n=4-

n+2

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、遞推式的意義、分類(lèi)討論、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、含絕對(duì)值的數(shù)列求和問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．