Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

a

x

-3lnx．
（1）a=2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（2）若a≥0且f（x）在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系求出單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義域，再求最值即可．
（2）首先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，由函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，則其導函數(shù)在（1，2）恒大于等于0或恒小于等于0，引入輔助函數(shù)g（x）=ax²-3x-a后，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間端點值的關系列式求解a的范圍

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=2x-

2

x

-3lnx，x＞0，
∴f′（x）=2-

2

x2

-

3

x

=

2x2-3x-2

x2

，
令f′（x）=0，得想x=2，x=-

1

2

（舍去），
當f′（x）＞0時，即x＞2時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，即0＜x＜2時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
故f（x）在（2，+∞）遞增，在（0，2）上遞減，
當x=2時函數(shù)f（x）有最小值，最小值為f（2）=4-1-0=3．
故函數(shù)的f（x）的最小值為3，
（2）∵f（x）=ax+

a

x

-3lnx．
∴f′（x）=ax-

a

x2

-

3

x

=

ax2-3x-a

x2

．
令g（x）=ax²-3x-a，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，
則f′（x）在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0，
即g（x）=ax²-3x-a在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0，
也就是g（1）•g（2）≥0恒成立，
即（a-3-a）（4a-6-a）≥0，解得a≤2．
故實數(shù)a的取值范圍[0，2]

點評：本題主要考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關系，以及恒成立的問題，屬于中檔題．