Question

3．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），若f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足f'（x）＜x²+1，則不等式f（x）＜$\frac{1}{3}$x³+x的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³-x，則F（x）為減函數(shù)，且F（0）=0，從而得出f（x）＜$\frac{1}{3}$x³+x即F（x）＜0的解集．

解答 解：設(shè)F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}{x}^{3}-x$，∵f'（x）＜x²+1，
∴F′（x）=f′（x）-x²-1＜0，
∴F（x）在R上是減函數(shù)．
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∴F（0）=f（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時，F(xiàn)（x）＜0，即f（x）＜$\frac{1}{3}{x}^{3}$+x，
∴不等式f（x）＜$\frac{1}{3}$x³+x的解集為（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．