Question

16．已知頂點在單位圓上的△ABC，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA的值；
（2）若b≥a，求2b-c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知可得cosA的值．
（2）由（1）可求A的值，利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得2b-c=2$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{6}$），結(jié)合范圍$\frac{π}{6}≤B-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）因為2acosA=ccosB+bcosC，
由正弦定理可得，2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，
所以2sinAcosA=sin（B+C）．
因為sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$…6分
（2）由$cosA=\frac{1}{2}$，得$A=\frac{π}{3}$，
由$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，得b=2sinB，c=2sinC，
所以$2b-c=4sinB-2sinC=4sinB-2sin（\frac{2π}{3}-B）=3sinB-\sqrt{3}cosB$=$2\sqrt{3}sin（B-\frac{π}{6}）$．
因為b≥a，
所以$\frac{π}{3}≤B＜\frac{2π}{3}$，即$\frac{π}{6}≤B-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
所以$2b-c=2\sqrt{3}sin（B-\frac{π}{6}）∈[\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．