Question

6．已知直線AB過定點（1，0），傾斜角為α，曲線C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{6}}}{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ為參數）
（1）求直線AB的參數方程；
（2）若直線AB與曲線C有公共點，求α的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據直線過定點求出直線方程即可；
（2）求出C的普通方程，將直線方程代入C，解出即可．

解答 解：（1）∵直線AB過定點（1，0），
故直線AB的參數方程是：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.（t為參數）$；
（2）∵C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{6}}}{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ為參數），
∴曲線C：3x²+2y²=2代入得：
3（1+tcosα）²+2（tsinα）²=2，
即（cos²α+2）t²+6tcosα+1=0，
由△=36cos²α-4（cos²α+2）≥0，
解得${cos^2}α≥\frac{1}{4}即cosα≥\frac{1}{2}或cosα≤-\frac{1}{2}$，
又$α∈[{0，π}）∴α∈[{0，\frac{π}{3}}]∪[{\frac{2π}{3}，π}）$．

點評 本題考查了求直線方程的參數式，考查參數方程和普通方程的轉化以及三角函數問題，是一道中檔題．