Question

【題目】已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中，設(shè)兩曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同.

（1）若，求實(shí)數(shù)的值；

（2）用表示，并求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x0，y0）處的切線相同，先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用兩直線重合列出等式即可求得b值；（2）利用（1）類(lèi)似的方法，利用a的表達(dá)式來(lái)表示b，然后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究b的最大值，研究此函數(shù)的最值問(wèn)題，先求出函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出最大值與最小值即得．

試題解析：

（1）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同

，

由題意知

，

由得， ，或（舍去）

即有.

（2）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同

，

由題意知

，

由得， ，或（舍去），

即有，

令，則，

于是當(dāng)，即時(shí)， ；

當(dāng)，即時(shí)， ，

故在的最大值為，故的最大值為.