【答案】
分析:(1)取BC中點M,連接EM,并取AC的中點Q,連QE,QM,根據(jù)線面平行的判定定理可得:EQ∥平面ABD,MQ∥平面ABD,再結(jié)合面面平行的判定定理得到:平面QEM∥平面ABD,進而得到點P的軌跡為線段QM.
(2)由題意可得:小蟲共走過了4條棱,并且得到基本事件總數(shù)為81,再分別討論當(dāng)小蟲走第1條棱時,第2條棱,第3條棱的所有走法,即可得到小蟲走12cm后仍回到A點的所有走法為21種,進而根據(jù)等可能事件的概率公式求出答案.
解答:解:(1)取BC中點M,連接EM,并取AC的中點Q,連QE,QM,
所以EQ∥AD,EQ?平面ABD,AD?平面ABD,
所以EQ∥平面ABD.
同理可得:MQ∥平面ABD.
因為EQ,MQ為平面QEM內(nèi)的兩條相交直線,
所以平面QEM∥平面ABD,
所以得到點P的軌跡為線段QM.
(2)由題意可得:小蟲爬了12cm,并且恰好回到A點,
所以小蟲共走過了4條棱,
因為每次走某條棱均有3種選擇,
所以所有等可能基本事件總數(shù)為3
4=81.
當(dāng)小蟲走第1條棱時,有3種選擇,即AB,AC,AD,不妨設(shè)小蟲走了AB,
然后小蟲走第2條棱為BA或BC或BD,
若第2條棱走的為BA,則第3條棱可以選擇走AB,AC,AD,計3種可能;
若第2條棱走的為BC,則第3條棱可以選擇走CB,CD,計2種可能;
同理第2條棱走BD時,第3棱的走法亦有2種選擇.
所以小蟲走12cm后仍回到A點的選擇有3×(3+2+2)=21種可能.
所以所求的概率為
.
點評:本題主要考查線面平行與面面平行的判定定理,以及考查等可能事件的概率公式,解決此題的關(guān)鍵是仔細審題挖掘題中隱含條件,再結(jié)合列舉的方法得到所求事件包含的基本事件數(shù),在列舉時要做到不重不漏有規(guī)律的列舉,此題屬于中檔題.