Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，且a＞0
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，e]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立問題，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于正實(shí)數(shù)a的不等式問題即可求出正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出其在[1，e]上的單調(diào)性即可求f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$（a＞0），
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)
∴f′（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{1}{x}$對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥1；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
若x∈[$\frac{1}{e}$，1）則f′（x）＜0，若x∈（1，e]，則f′（x）＞0，
故x=1是f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的惟一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
故f（x）_min=f（1）=0；
∵f（$\frac{1}{e}$）=e-2＞$\frac{1}{2}$，f（e）=$\frac{1}{e}$＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上最大值為e-2，
綜上知函數(shù)f（x）區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上最大值是e-2，最小值是0．

點(diǎn)評(píng) 本題第二問考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．