Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=

2

，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求三棱錐P-EBD的體積．

Answer 1

（1）證明：在矩形ABCD中，連接AC，設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O，則O是AC中點(diǎn)．
又E是PA中點(diǎn)，所以EO是△PAC的中位線，所以PC∥EO…（3分）
又EO?平面EBD，PC?平面EBD．
所以PC∥平面EBD…（6分）
（2）取AB中點(diǎn)H，則由PA=PB，得PH⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以PH⊥平面ABCD．…．．（8分）
取AH中點(diǎn)F，由E是PA中點(diǎn)，得EF∥PH，所以EF⊥平面ABCD．
∵VP-EBD=VP-ABD-VE-ABD=

1

3

S△ABD•PH-

1

3

S△ABD•EF，
由題意可求得：S_△ABD=

2

，PH=

3

，EF=

3

2

，…．．（10分）
則VP-EBD=

1

3

×

2

×

3

-

1

3

×

2

×

3

2

=

6

6

．…．．（12分）