Question

17．已知△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0，AC邊上的高BH所在直線的方程為x-2y-5=0．求
（1）求點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（2）若$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BH}）$，求直線BP的方程．

Answer 1

分析 （1）由兩直線相互垂直時(shí)的斜率的關(guān)系進(jìn)行解答；
（2）結(jié)合已知條件得到點(diǎn)P為AH的中點(diǎn)，易求點(diǎn)P的坐標(biāo)；結(jié)合點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)推知點(diǎn)M的坐標(biāo)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線y=2x-5求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、H來求直線BH的方程．

解答 解：（1）∵點(diǎn)H在直線x-2y-5=0，則設(shè)H的坐標(biāo)為$H（t，\frac{t}{2}-\frac{5}{2}）$．
∵BH⊥AC，
∴${k_{AH}}=\frac{{\frac{t}{2}-\frac{5}{2}-1}}{t-5}=-2$，得
$t=\frac{27}{5}$，
∴$H（\frac{27}{5}，\frac{1}{5}）$；
（2）∵$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BH}）$，P為AH的中點(diǎn)，
∴$P（\frac{26}{5}，\frac{3}{5}）$．
設(shè)$B（k，\frac{k}{2}-\frac{5}{2}）$，
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，則$M（\frac{5+k}{2}，\frac{{\frac{k}{2}-\frac{5}{2}+1}}{2}）$．
又M在直線y=2x-5，
代入得B（-1，-3），
則直線BH的方程為：18x-31y-75=0．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)滿足斜率乘積為-1的條件，會(huì)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及會(huì)根據(jù)斜率和一點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線的一般式方程．