Question

4．如圖所示，菱形ABEF⊥直角梯形ABCD，∠BAD=∠CDA=90°，∠ABE=60°，AB=2AD=2CD=2，H是EF的中點
（1）求證：平面AHC⊥平面BCE；　
（2）求此幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AH⊥EF，從而AH⊥AB，再推導出AH⊥BC，AC⊥BC，由此能證明BC⊥平面AHC，從而平面AHC⊥平面BCE．
（2）過點C作CG⊥AB，則CG⊥AH，由此幾何體的體積V=V_C-AHC+V_F-AHC+V_C-ABEH，能求出結果．

解答 證明：（1）在菱形ABEF中，∵∠ABE=60°，∴△AEF是正三角形，
又∵H是EF的中點，∴AH⊥EF，
又EF∥AB，∴AH⊥AB，
∵菱形ABEF⊥直角梯形ABCD，菱形ABEF∩直角梯形ABCD=AB，
∴AH⊥平面ABCD，∴AH⊥BC，
在直角梯形ABCD，∠BAD=∠CDA=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又AH∩AC=A，∴BC⊥平面AHC，
又BC?平面BCE，∴平面AHC⊥平面BCE．
解：（2）過點C作CG⊥AB，則CG⊥AH，
又AB∩AH=A，∴CG⊥平面ABEH，
∵AH=$\sqrt{3}$，∴S_AHEB=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×（2+1）$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
V_C-ABEH=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由（1）知CD⊥平面AHD，F(xiàn)H⊥平面AHD，
又${S}_{△AHD}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{F-AHC}=\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
${V}_{C-AHC}=\frac{1}{3}•CD•{S}_{△AHD}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴此幾何體的體積V=V_C-AHC+V_F-AHC+V_C-ABEH=$\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．