【題目】設(shè)是以為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn),是以直線(xiàn)與的漸近線(xiàn),以為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn).
(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若與在第一象限有兩個(gè)公共點(diǎn),求的取值范圍,并求的最大值;
(3)是否存在正數(shù),使得此時(shí)的重心恰好在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上?如果存在,求出的值;如果不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2);9;(3)存在正數(shù),
【解析】
(1)可知焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸上,可設(shè),再根據(jù)兩條漸近線(xiàn)與得出關(guān)系式,再由焦點(diǎn)是,結(jié)合即可求得雙曲線(xiàn)方程;
(2)由與在第一象限內(nèi)有兩個(gè)公共點(diǎn)和,聯(lián)立雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程,可得的取值范圍;設(shè),用坐標(biāo)表示,利用韋達(dá)定理及配方法,可得的最大值;
(3)由(2)及重心公式可得的重心,,即,,假設(shè)恰好在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上,代入漸近線(xiàn)方程,即可求得結(jié)論.
(1)由題可知焦點(diǎn)為,故焦點(diǎn)在軸上,設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為
是以直線(xiàn)與為漸近線(xiàn),
,,,雙曲線(xiàn)方程為;
(2)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),,聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程消得:,
可得,與在第一象限內(nèi)有兩個(gè)公共點(diǎn)和,,
設(shè),則
將代入得,函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為,,時(shí),的最大值為9;
(3)由(2)知的重心為,,
,,
假設(shè)恰好在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上,代入可得,,或,,
存在正數(shù),使得此時(shí)的重心恰好在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(Ⅱ)若,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),求的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題p:“x∈[1,2], x2-lnx-a≥0”與命題q:“x∈R,x2+2ax-8-6a=0”都是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】公元前世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯是最早研究“完全數(shù)”的人.完全數(shù)是一種特殊的自然數(shù),它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和恰好等于它本身.若從集合中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù),則這兩個(gè)數(shù)中有完全數(shù)的概率是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若橢圓:上有一動(dòng)點(diǎn),到橢圓的兩焦點(diǎn),的距離之和等于,到直線(xiàn)的最大距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)、,(為坐標(biāo)原點(diǎn))且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
為增強(qiáng)市民的節(jié)能環(huán)保意識(shí),某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者,從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽樣100名志原者的年齡情況如下表所示.
(Ⅰ)頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)?并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖),再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在歲的人數(shù);
(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng),從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人,記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn). 是的中點(diǎn),直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).
(Ⅰ)求征:;
(Ⅱ)求四邊形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)傾斜角為α的直線(xiàn)l:(t為參數(shù))與曲線(xiàn)C:(θ為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(Ⅰ)若α=,求線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo);
(Ⅱ)若|PA|·|PB|=|OP|,其中P(2,),求直線(xiàn)l的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ﹣sinθ.
(1)求直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C所截得的弦長(zhǎng);
(2)若M(x,y)是曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn),求x+y的最大值.
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