Question

3．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0．
（1）判斷函數(shù)f（x）在其定義域（0，+∞）上的單調(diào)性并證明；
（2）解不等式f（x）+f（x-2）≤3．

Answer 1

分析 （1）設(shè)0＜x₁＜x₂⇒$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，依題意，利用單調(diào)性的定義可證得，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）f（x）+f（x-2）≤3?f（x）+f（x-2）≤f（8）?$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x（x-2）≤8}\end{array}\right.$，解之即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
證明如下：
設(shè)0＜x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∵當(dāng)x＞1時，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（$\frac{1}{{x}_{1}}$）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）∵f（x）+f（x-2）≤3=f（8），且函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x（x-2）≤8}\end{array}\right.$，解得：2＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x-2）≤3的解集為{x|2＜x≤4}．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法的應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性，考查方程思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．