Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+mx²+1的導(dǎo)函數(shù)f′（x），且f′（1）=3．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x²+2mx，利用f′（1）=3．求出m，求出切線斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，遞減區(qū)間即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²+2mx，f′（1）=3，
∴f′（x）=1+2m=3，∴m=1．
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+1，∴f（1）=$\frac{7}{3}$．
∴切線方程為y-$\frac{7}{3}$=3（x-1），
即3x-3y+4=0．
（2）f′（x）=x²+2x=x（x+2），
令f′（x）＞0，得x＞0或x＜-2，
令f′（x）＜0，得-2＜x＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），（0，+∞），遞減區(qū)間為（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．