Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²e^-ax，其中a＞0．（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^-ax（-ax²+2x），
令f′（x）＞0，∵e^-ax＞0，
∴-ax²+2x＞0，解得：0＜x＜$\frac{2}{a}$，
∴f（x）在（-∞，0）和（$\frac{2}{a}$，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（0，$\frac{2}{a}$）內(nèi)是增函數(shù)．               
（Ⅱ）①當0＜$\frac{2}{a}$＜1，即a＞2時，f（x）在（1，2）內(nèi)是減函數(shù)．
∴在[1，2]上，f（x）_max=f（1）=e^-a；                                              
②當1≤$\frac{2}{a}$≤2，即1≤a≤2時，f（x）在（1，$\frac{2}{a}$）內(nèi)是增函數(shù)，在（$\frac{2}{a}$，2）內(nèi)是減函數(shù)．
∴在[1，2]上，f（x）_max=f（$\frac{2}{a}$）=4a^-2e^-2；                                        
③當$\frac{2}{a}$＞2，即0＜a＜1時，f（x）在（1，2）是增函數(shù)．
∴在[1，2]上，f（x）_max=f（2）=4e^-2a，
綜上所述，當0＜a＜1時，f（x）在[1，2]上的最大值為4e^-2a；
當1≤a≤2時，f（x）在[1，2]上的最大值為4a^-2e^-2；
當a＞2時，f（x）在[1，2]上的最大值e^-a．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．