3.已知sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$,tan(α+β)=-3,π<α<$\frac{3π}{2}$,0<β<π.
(Ⅰ)求tanβ;
(Ⅱ)求2α+β的值.

分析 (Ⅰ)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的正切公式,求得tanβ=tan[(α+β)-α]得值.
(Ⅱ)先求得tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]的值,再根據(jù)2π+$\frac{π}{4}$<2α+β<$\frac{7π}{2}$,求得2α+β得值.

解答 解:(Ⅰ)因為π<α<$\frac{3π}{2}$,∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$,∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{2}$,
∴tanβ=tan[(α+β)-α]=$\frac{tan(α+β)-tanα}{1+tan(α+β)•tanα}$=$\frac{-3-\frac{1}{2}}{1+(-3)•(-\frac{1}{2})}$=7.
(Ⅱ)因為tan(α+β)=-3,tanα=$\frac{1}{2}$,所以tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]=$\frac{tan(α+β)+tanα}{1-tan(α+β)tanα}$=$\frac{-3+\frac{1}{2}}{1-(-3)•\frac{1}{2}}$=-1.
由(Ⅰ)知tanβ>1,所以$\frac{π}{4}$<β<$\frac{π}{2}$.
又因為π<α<$\frac{3π}{2}$,所以2π+$\frac{π}{4}$<2α+β<$\frac{7π}{2}$,所以2α+β=2π+$\frac{3π}{4}$=$\frac{11π}{4}$.

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的正切公式的應(yīng)用,屬于中檔題.

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