Question

如圖所示，PA⊥平面ABCD，△CAB為等邊三角形，PA=AB，AC⊥CD，M為AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：BM∥平面PCD；
（Ⅱ）若PD與平面PAC所成角的正切值為

6

2

，求二面角C-PD-M的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）因?yàn)镸為等邊△ABC的AC邊的中點(diǎn)，所以BM⊥AC．依題意CD⊥AC，且A、B、C、D四點(diǎn)共面，由此能證明BM∥平面PCD． 
（Ⅱ）因?yàn)镃D⊥AC，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAC，故PD與平面PAC所成的角即為∠CPD，
（方法一）在等腰Rt△PAC中，過點(diǎn)M作ME⊥PC于點(diǎn)E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于點(diǎn)F，∠EFM即為二面角C-PD-M的平面角，由此能求出二面角C-PD-M的正切值．
（方法二）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出能求出二面角C-PD-M的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)镸為等邊△ABC的AC邊的中點(diǎn)，所以BM⊥AC．
依題意CD⊥AC，且A、B、C、D四點(diǎn)共面，所以BM∥CD．    …3分
又因?yàn)锽M?平面PCD，CD?平面PCD，所以BM∥平面PCD．  …5分
（Ⅱ）解：因?yàn)镃D⊥AC，CD⊥PA，
所以CD⊥平面PAC，故PD與平面
PAC所成的角即為∠CPD．…7分
不妨設(shè)PA=AB=1，則PC=

2

．
由于tan∠CPD=

CD

PC

=

6

2

，所以CD=

3

．…9分
（方法一）
在等腰Rt△PAC中，過點(diǎn)M作ME⊥PC于點(diǎn)E，
再在Rt△PCD中作EF⊥PD于點(diǎn)F（圖1所示）．
因?yàn)镸E⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．
又EF⊥PD，
所以∠EFM即為二面角C-PD-M的平面角．   …12分
由題意知PE=3EC，ME=

2

4

，EF=

3

4

×

2 • 3

5

=

3 30

20

，
所以tan∠EFM=

ME

EF

=

2 4

3 30 20

=

15

9

，
即二面角C-PD-M的正切值是

15

9

．…15分
（方法二）
以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC為x軸，
建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則P（0，0，1），M（

1

2

，0，0），C（1，0，0），D（1，

3

，0）．
則

PC

=(1，0，-1)，

PD

=(1，

3

，-1)，

PM

=(

1

2

，0，-1)．
若設(shè)

n1

=（x₁，y₁，z₁）和

n2

=（x₂，y₂，z₂）分別是平面PCD和平面PMD的法向量，
則

n1 • PC =x1-z1=0 n1 • PD =x1+ 3 y1-z1=0

，可取

n1

=(1，0，1)．
同理，得

n2

=（2，-

3

3

，1）．…12分
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

3

2 • 16 3

=

27 32

，
故二面角C-PD-M的余弦值是

27 32

，其正切值是

15

9

．…15分

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．