分析 (I)由${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$,推導(dǎo)出a1=S1=2,an=Sn-Sn-1=3n-1.由各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}滿足$_{2}=\frac{1}{4}$,$_{4}=\frac{1}{16}$,求出首項(xiàng)和公比,由此能求出數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.
(Ⅱ) 先求出Cn=9n-4+($\frac{1}{2}$)3n-1,由此利用分組求和法能求出數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解答 解:(I)${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=$\frac{3}{2}$(n-1)2+$\frac{1}{2}$(n-1)=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n+1$,
∴an=Sn-Sn-1=3n-1.
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,
∴an=3n-1.…(3分)
又各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}滿足$_{2}=\frac{1}{4}$,$_{4}=\frac{1}{16}$,
解得$_{1}=\frac{1}{2},q=\frac{1}{2}$,∴bn=($\frac{1}{2}$)n.…(6分)
(Ⅱ)∵${a}_{n}=2n-1,_{n}=(\frac{1}{2})^{n}$,
∴Cn=a${\;}_{{a}_{n}}$+b${\;}_{{a}_{n}}$=a3n-1+b3n-1
=3(3n-1)-1+($\frac{1}{2}$)3n-1
=9n-4+($\frac{1}{2}$)3n-1,
∴數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和:
Tn=9(1+2+3+…+n)-4n+2×($\frac{1}{8}$)n
=9×$\frac{n(1+n)}{2}$-4n+2×$\frac{\frac{1}{8}(1-\frac{1}{{8}^{n}})}{1-\frac{1}{8}}$
=$\frac{n(9n+1)}{2}$-$\frac{2}{7}×\frac{1}{{8}^{n}}$+$\frac{2}{7}$.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和分組求和法的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{5π}{12}$ |
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A. | 0個(gè) | B. | 1個(gè) | C. | 2個(gè) | D. | 3個(gè) |
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A. | 正方體的體積與邊長 | B. | 角的度數(shù)與正弦值 | ||
C. | 日照時(shí)間與水稻產(chǎn)量 | D. | 人的身高與視力 |
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