【題目】已知實(shí)數(shù),設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,若對任意的,均有,求的取值范圍.
注:為自然對數(shù)的底數(shù).
【答案】(1)在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增;(2)
【解析】
(1)求導(dǎo)后取出極值點(diǎn),再分,兩種情況進(jìn)行討論即可.
(2)當(dāng)時得出的一個取值范圍,再討論時的情況,再對時構(gòu)造函數(shù)兩邊取對數(shù)進(jìn)行分析論證時恒成立.
(1)由,解得.
①若,則當(dāng)時,,故在內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,故在內(nèi)單調(diào)遞減.
②若,則當(dāng)時,,故在內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,故在內(nèi)單調(diào)遞減.
綜上所述,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增.
(2),即.
令,得,則.
當(dāng)時,不等式顯然成立,
當(dāng)時,兩邊取對數(shù),即恒成立.
令函數(shù),即在內(nèi)恒成立.
由,得.
故當(dāng)時,,單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,單調(diào)遞減.
因此.
令函數(shù),其中,
則,得,
故當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.
又,,
故當(dāng)時,恒成立,因此恒成立,
即當(dāng)時,對任意的,均有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù),解方程;
(2)當(dāng)時,定義,設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求及;
(3)對于任意,其中,當(dāng)能作為一個三角形的三邊長時,也總能作為一個三角形的三邊長,試探究M的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓與直線有且只有一個交點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上任一點(diǎn),,.若的最小值為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),且,當(dāng)的面積S最大時,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】地球上的風(fēng)能取之不盡,用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電,近10年來,全球風(fēng)力發(fā)電累計裝機(jī)容量連年攀升,中國更是發(fā)展迅猛,2014年累計裝機(jī)容量就突破了,達(dá)到,中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟,在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖. 根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計結(jié)論是( )
A.截止到2015年中國累計裝機(jī)容量達(dá)到峰值
B.10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升
C.10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過
D.截止到2015年中國累計裝機(jī)容量在全球累計裝機(jī)容量中占比超過
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)為.
(1)當(dāng)時,求的零點(diǎn);
(2)若函數(shù)存在極小值點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn),離心率為,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)為橢圓上的三點(diǎn),與交于點(diǎn),且,當(dāng)的中點(diǎn)恰為點(diǎn)時,判斷的面積是否為常數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深入人心,這將推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.下表是近幾年我國某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
銷量(萬臺) | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
某機(jī)構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)30位購車車主的性別與購車種類情況,得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:
購置傳統(tǒng)燃油車 | 購置新能源車 | 總計 | |
男性車主 | 6 | 24 | |
女性車主 | 2 | ||
總計 | 30 |
(1)求新能源乘用車的銷量關(guān)于年份的線性相關(guān)系數(shù),并判斷與是否線性相關(guān);
(2)請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關(guān);
(3)若以這30名購車車主中購置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區(qū)購置新能源乘用車的車主性別比例,從該地區(qū)購置新能源乘用車的車主中隨機(jī)選取50人,記選到女性車主的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望與方差.
參考公式:,,其中.,若,則可判斷與線性相關(guān).
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動點(diǎn)P到直線的距離與到點(diǎn)的距離之比為.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡;
(2)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B在軸的上方):
①當(dāng)A為橢圓與軸的正半軸的交點(diǎn)時,求直線的方程;
②對于動直線,是否存在一個定點(diǎn),無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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