Question

甲有一只放有a本《周易》，b本《萬(wàn)年歷》，c本《吳從紀(jì)要》的書(shū)箱，且a+b+c=6 （a，b，c∈N），乙也有一只放有3本《周易》，2本《萬(wàn)年歷》，1本《吳從紀(jì)要》的書(shū)箱，兩人各自從自己的箱子中任取一本書(shū)（由于每本書(shū)厚薄、大小相近，每本書(shū)被抽取出的可能性一樣），規(guī)定：當(dāng)兩本書(shū)同名時(shí)甲將被派出去完成某項(xiàng)任務(wù)，否則乙去．
（1）用a、b、c表示甲去的概率；
（2）若又規(guī)定：當(dāng)甲取《周易》，《萬(wàn)年歷》，《吳從紀(jì)要》而去的得分分別為1分、2分、3分，否則得0分，求甲得分的期望的最大值及此時(shí)a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）P（甲去）=P（兩人均取《周易》）+P（兩人均取《萬(wàn)年歷》）+P（兩人均取《吳從紀(jì)要》），由此能用用a、b、c表示甲去的概率．
（2）設(shè)甲的得分為隨機(jī)變量ξ，分別求出P（ξ=3），P（ξ=2），P（ξ=1），P（ξ=0），由此能求出甲得分的期望的最大值及此時(shí)a、b、c的值．

解答：解：（1）P（甲去）=P（兩人均取《周易》）+P（兩人均取《萬(wàn)年歷》）+P（兩人均取《吳從紀(jì)要》）
=

a

6

×

3

6

+

b

6

×

2

6

+

c

6

×

1

6

=

3a+2b+c

36

．
（2）設(shè)甲的得分為隨機(jī)變量ξ，
則P（ξ=3）=

c

6

×

1

6

，
P（ξ=2）=

b

6

×

2

6

，
P（ξ=1）=

a

6

×

3

6

，
P（ξ=0）=1一P（甲去）=1一

3a+2b+c

36

，
∴Eξ=3×

c

6

×

1

6

+2×

b

6

×

2

6

+1×

a

6

×

3

6

+0×（1一

3a+2b+c

36

）
=

3a+4b+3c

36

=

3(a+b+c)+b

36

=

1

2

+

b

36

∵a，b，c∈N，a+b+c=6，∴b=6，此時(shí)a=c=0時(shí)，期望取得最大值，
∴當(dāng)b=6時(shí)，Eξ=

1

2

+

b

36

=

1

2

+

1

6

=

2

3

，此時(shí)a=c=0，b=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．