Question

9．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosφ\(chéng)\ y=-2+tsinφ\(chéng)end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤φ＜π），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=1，l與C交于不同的兩點(diǎn)P₁，P₂．
（1）求φ的取值范圍；
（2）以φ為參數(shù)，求線段P₁P₂中點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程．

Answer 1

分析 （1）求解曲線C的直角坐標(biāo)方程，將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=tcosφ\(chéng)\ y=-2+tsinφ\(chéng)end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤φ＜π），帶入，得到關(guān)于t的一元二次方程的關(guān)系式，由題意判別式大于0，可得φ的取值范圍．
（2）利用參數(shù)的幾何意義即可求線段P₁P₂中點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=1，根據(jù)ρ²=x²+y²可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1，
將$\left\{\begin{array}{l}x=tcosφ\(chéng)\ y=-2+tsinφ\(chéng)end{array}\right.$代入x²+y²=1得t²-4tsinφ+3=0（*）
由16sin²φ-12＞0，得$|{sinφ}|＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又0≤φ≤π，
∴所求φ的取值范圍是$（{\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}）$；
（Ⅱ）由（1）中的（*）可知，$\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}=2sinφ$，代入$\left\{\begin{array}{l}x=tcosφ\(chéng)\ y=-2+tsinφ\(chéng)end{array}\right.$中，
整理：得P₁P₂的中點(diǎn)的軌跡方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sin2φ\(chéng)\ y=-1-cos2φ\(chéng)end{array}\right.$（φ為參數(shù)，$\frac{π}{3}＜φ＜\frac{2π}{3}$）．
故得線段P₁P₂中點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為為$\left\{\begin{array}{l}x=sin2φ\(chéng)\ y=-1-cos2φ\(chéng)end{array}\right.$（φ為參數(shù)，$\frac{π}{3}＜φ＜\frac{2π}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互換和參數(shù)方程的幾何意義的運(yùn)用．