Question

19．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x．
（Ⅰ）求過點(diǎn)（-1，0）且與曲線y=f（x）相切的直線方程；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=af（x）+g（x），其中a為非零實(shí)數(shù)，若y=h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：2h（x₂）-x₁＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，可得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到所求切線的方程；
（Ⅱ）求出h（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，討論a＜0，0＜a＜1，a≥1，求出極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間，由2h（x₂）-x₁＞0等價(jià)為2h（x₂）+x₂＞0，由x₂=$\sqrt{1-a}$，可得a=1-x₂²，即證明2（1-x₂²）ln（x₂+1）+x₂²-x₂＞0，由0＜x₂＜1，可得1-x₂＞0，
即證明2（1+x₂）ln（x₂+1）-x₂＞0，構(gòu)造函數(shù)t（x）=2（1+x）ln（1+x）-x，0＜x＜1，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ln（x+1）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則切線的斜率為k=$\frac{1}{1+{x}_{0}}$，
點(diǎn)（x₀，y₀）在f（x）=ln（x+1）上，則y₀=ln（1+x₀），
可得$\frac{ln（{x}_{0}+1）}{{x}_{0}+1}$=$\frac{1}{{x}_{0}+1}$，解得x₀=e-1，
可得切線的斜率為$\frac{1}{e}$，則切線方程為y-0=$\frac{1}{e}$（x+1），
即為x-ey+1=0；
（Ⅱ）證明：h（x）=af（x）+g（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²-x，
導(dǎo)數(shù)h′（x）=$\frac{a}{1+x}$+x-1=$\frac{{x}^{2}+（a-1）}{x+1}$，x＞-1，
當(dāng)a-1≥0時(shí)，即a≥1時(shí)，h′（x）≥0，h（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由h′（x）=0得，x₁=-$\sqrt{1-a}$，x₂=$\sqrt{1-a}$，
故h（x）在（-1，-$\sqrt{1-a}$）上單調(diào)遞增，在（-$\sqrt{1-a}$，$\sqrt{1-a}$）上單調(diào)遞減，
在（$\sqrt{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，由h′（x）=0得，x₀=$\sqrt{1-a}$，h（x）在（-$\sqrt{1-a}$，$\sqrt{1-a}$）上單調(diào)遞減，
在（$\sqrt{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即x₁=-$\sqrt{1-a}$，x₂=$\sqrt{1-a}$，
可得x₁+x₂=0，x₁x₂=a-1，由0＜a＜1得，-1＜x₁＜0，0＜x₂＜1，
由2h（x₂）-x₁＞0等價(jià)為2h（x₂）+x₂＞0，即為2aln（x₂+1）+x₂²-x₂＞0，
由x₂=$\sqrt{1-a}$，可得a=1-x₂²，即證明2（1-x₂²）ln（x₂+1）+x₂²-x₂＞0，
由0＜x₂＜1，可得1-x₂＞0，
即證明2（1+x₂）ln（x₂+1）-x₂＞0，
構(gòu)造函數(shù)t（x）=2（1+x）ln（1+x）-x，0＜x＜1，
t′（x）=2（1+x）•$\frac{1}{1+x}$+2ln（x+1）-1=1+2ln（1+x）＞0，t（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
又t（0）=0，所以t（x）＞0在（0，1）時(shí)恒成立，
即2（1+x₂）ln（x₂+1）-x₂＞0成立
則2h（x₂）-x₁＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，注意設(shè)出切點(diǎn)，以及極值問題，考查不等式的證明，注意運(yùn)用分類討論思想方法和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于難題．