Question

設(shè)P（x₀，y₀）是拋物線y²=2px（p＞0）上異于頂點(diǎn)的定點(diǎn)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)
（1）求

y1+y2

y0

的值
（2）證明直線AB的斜率是非零常數(shù)．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出直線PA，PB的斜率，把A，P點(diǎn)代入拋物線的方程相減后，表示出兩直線的斜率，利用其傾斜角互補(bǔ)推斷出
k_PA=-k_PB，化簡出

y1+y2

y0

即可．
（II）求得三點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式，同樣把把A，B點(diǎn)代入拋物線的方程相減后，表示出AB的斜率，將y₁+y₂=-2y₀代入求得結(jié)果為非零常數(shù)．

解答：解：（I）設(shè)直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k _PB
由y₁²=2px₁，y₀²=2px₀
相減得（y₁-y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁-x₀）
故 kPA=

y1-y0

x1-x0

=

2p

y1+y0

(x1≠x0)
同理可得 kPB=

2p

y2+y0

(x2≠x0)
由PA，PB傾斜角互補(bǔ)知k_PA=-k_PB
即

2p

y1+y0

=-

2p

y2+y0

所以y₁+y2=-2y₀
故

y1+y2

y0

=-2
（II）設(shè)直線AB的斜率為k_AB
由y2²=2px₂，y₁²=2px₁
相減得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）
所以 kAB=

y2-y1

x2-x1

=

2p

y1+y2

(x1≠x2)
將y₁+y₂=-2y₀（y₀＞0）代入得kAB=

2p

y1+y2

=-

p

y0

，所以k_AB是非零常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．