Question

已知雙曲線的左頂點為A，右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于B、C兩點，且AB⊥AC，|BC|=6．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設過點F且不垂直于x軸的直線l與雙曲線分別交于點P、Q，請問：是否存在直線l，使△APQ構成以A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得A（-a，0），F(xiàn)（c，0），BC⊥x軸，所以．由此能求出雙曲線的方程．
（2）設直線l的方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0．由l與雙曲線有兩個交點，故k²-3≠0.．要使△APQ成等腰直角三角形，則需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，得（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0．由此能導出所求直線方程．
解答：解：（1）由題意得A（-a，0），F(xiàn)（c，0），BC⊥x軸，
∴．…（2分）
∴c=2a…（3分）
又|BC|=6，
∴…（4分）
∴a²=1，b²=3，
∴所求雙曲線的方程為．…（6分）
（2）設直線l的方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由，
得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0．…（7分）
∵l與雙曲線有兩個交點，故k²-3≠0．
∴…（8分）
要使△APQ成等腰直角三角形，
則需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，
得（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0…（10分）
即，
對k∈R，且恒成立  （12分）
由|AP|=|AQ|得

解得即…（14分）
綜上所述，所求直線存在，其方程為（15分）
點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．