Question

6．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，
（1）求b的值；
（2）曲線y=f（x）在點（2，2）處的切線斜率-1，求實數(shù)a，c的值；
（3）若a=2，討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）令f′（0）=0解出b；
（2）令f（2）=2，f′（2）=-1列方程組解出；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的極大值和極小值，對極值進行討論得出f（x）的零點個數(shù)．

解答 解：（1）∵f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，
∴x=0為f（x）的極小值點，
∴f′（0）=b=0，
（2）∵曲線y=f（x）在點（2，2）處的切線斜率-1，
∴f′（2）=-1，f（2）=2，
即$\left\{\begin{array}{l}{-12+4a=-1}\\{-8+4a+c=2}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{11}{4}$，c=-1．
（3）a=2時，f（x）=-x³+2x²+c，f′（x）=-3x²+4x，
令f′（x）=0得-3x²+4x=0，解得x=0或x=$\frac{4}{3}$，
當x＜0或x＞$\frac{4}{3}$時，f′（x）＜0，當0＜x＜$\frac{4}{3}$時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，$\frac{4}{3}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{4}{3}$，+∞）上是減函數(shù)，
∴當x=0時，f（x）取得極小值f（0）=c，當x=$\frac{4}{3}$時，f（x）取得極大值f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{32}{27}$+c．
∴當c＞0或$\frac{32}{27}$+c＜0，即c＞0或c＜-$\frac{32}{27}$時，f（x）有一個零點．
若c=0或$\frac{32}{27}$+c=0，即c=0或c=-$\frac{32}{27}$時，f（x）有兩個零點．
當$\left\{\begin{array}{l}{c＜0}\\{\frac{32}{27}+c＞0}\end{array}\right.$即-$\frac{32}{27}$＜c＜0時，f（x）有三個零點．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性與極值計算，零點與極值的關(guān)系，屬于中檔題．