【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=1-x2+ln(x+1).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若不等式f(x)>x2(k∈N*)在(0,+∞)上恒成立,求k的最大值.

【答案】(1)見解析(2)3

【解析】

(1)首先求出f(x)的定義域,函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),分別令它大于0,小于0,解不等式,必須注意定義域,求交集;

(2)化簡不等式f(x)﹣x2,得:(x+1)[1+ln(x+1)]>kx,令g(x)=(x+1))[1+ln(x+1)]﹣kx,求出g'(x),由x0,求出2+ln(x+1)>2,討論k,分k≤2,k>2,由恒成立結(jié)合單調(diào)性判斷k的取值,從而得到k的最大值.

(1)函數(shù)f(x)的定義域為(﹣1,+∞),

函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=﹣2x+,

令f'(x)0則>2x,

解得,

令f'(x)0則

解得x或x,

∵x>﹣1,

f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣1,),

單調(diào)減區(qū)間為(,+∞);

(2)不等式f(x)﹣x2

即1﹣x2+ln(x+1)>,即1+ln(x+1)>,

即(x+1)[1+ln(x+1)]>kx(k∈N*)在(0,+∞)上恒成立

令g(x)=(x+1))[1+ln(x+1)]﹣kx,則

g'(x)=2+ln(x+1)﹣k,

∵x>0,∴2+ln(x+1)>2,

若k2,則g'(x)0,即g(x)在(0,+∞)上遞增,

∴g(x)>g(0)即g(x)>1>0,

∴(x+1)[1+ln(x+1)]>kx(k∈N*)在(0,+∞)上恒成立;

若k2,可以進(jìn)一步分析,只需滿足最小值比0大,即可,

結(jié)合K為正整數(shù),故k的最大值為3.

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排隊人數(shù)

0

1

2

3

4

5人以上

概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04

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(Ⅰ)設(shè)集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16,分別求l(P)和l(Q);
(Ⅱ)若集合A=2,4,8,…,2n , 求證: ;
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第一組:;

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B.0<a<1,0<b<1
C.a>1,﹣1<b<0
D.a>1,0<b<1

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