Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n+1=9•$\root{3}{{a}_{n}}$（n≥1），則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=27．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式兩邊取常用對(duì)數(shù)，然后構(gòu)造等比數(shù)列，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，則極限可求．

解答 解：由a_n+1=9•$\root{3}{{a}_{n}}$（n≥1），得$lg{a}_{n+1}=lg9+lg\root{3}{{a}_{n}}$，
即$lg{a}_{n+1}=\frac{1}{3}lg{a}_{n}+2lg3$，令b_n=lga_n，
則$_{n+1}=\frac{1}{3}_{n}+2lg3$，∴$_{n+1}-3lg3=\frac{1}{3}（_{n}-3lg3）$，
則數(shù)列{b_n-3lg3}是以b₁-3lg3=lga₁-3lg3=-2lg3為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴$_{n}-3lg3=-2lg3•（\frac{1}{3}）^{n-1}$，即$_{n}=3lg3-2lg3•（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=1{0}^{3lg3-2lg3•（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}1{0}^{3lg3-2lg3•（\frac{1}{3}）^{n-1}}$=10^3lg3=10^lg27=27．
故答案為：27．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列極限的求法，考查了構(gòu)造等比數(shù)列的方法，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．