Question

平面直角坐標(biāo)系中，直線截以原點(diǎn)為圓心的圓所得的弦長為
（1）求圓的方程；
（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于，當(dāng)長最小時(shí)，求直線的方程；
（3）問是否存在斜率為的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)．若存在，寫出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）x+y﹣2=0；（3）。

試題分析：（1）因?yàn)镺點(diǎn)到直線x﹣y+1=0的距離為，（2分）
所以圓O的半徑為，故圓O的方程為        4分
（2）設(shè)直線的方程為，即bx+ay﹣ab=0，
由直線與圓O相切，得，即，       6分
，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x+y﹣2=0      8分
（3）設(shè)存在斜率為2的直線滿足題意，設(shè)直線為：，
則：得：        10分
依題意得；，
因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002727997396.png" style="vertical-align:middle;" />為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，
所以有：

所以存在斜率為2的直線滿足題意，直線為：        14分
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)較多，綜合性較強(qiáng)。熟練掌握定理及法則以及知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，是一道中檔題。