Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x+mlnx+1，其中m為常數(shù)．
（1）若m≥$\frac{1}{2}$，證明：函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）有唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)m的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，從而證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的極值問題，求出m的具體范圍．

解答 解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），
$f'（m）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}=\frac{{2{{（x-\frac{1}{2}）}^2}+m-\frac{1}{2}}}{x}$，
所以$m≥\frac{1}{2}$時，對x∈（0，+∞），f'（x）≥0恒成立，
所以函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由（1）知，當(dāng)$m≥\frac{1}{2}$時，$f'（x）=\frac{{2{{（x-\frac{1}{2}）}^2}+m-\frac{1}{2}}}{x}≥0$，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，沒有極值點(diǎn)．
當(dāng)$m＜\frac{1}{2}$時，令f'（x）=0得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$，
①當(dāng)m≤0時，${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}≤0$，
∴${x_1}∉（0，+∞），{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}≥1$，∴x₂∈（0，+∞）．
列表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	極大值

由此看出：當(dāng)m≤0時，f（x）有唯一極值點(diǎn)${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$．
②當(dāng)$0＜m＜\frac{1}{2}$時，0＜x₁＜x₂＜1，列表

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由此看出，當(dāng)$0＜m＜\frac{1}{2}$時，f（x）有極大值點(diǎn)${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}$和極小值點(diǎn)${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$．
綜上，當(dāng)m≤0時，函數(shù)f（x）有唯一極值點(diǎn)，即f（x）有唯一極值點(diǎn)時，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，0]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．