Question

8．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），與雙曲線C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于A、B、C、D四點(diǎn)，若雙曲線C₁的一個(gè)焦點(diǎn)為F（-$\sqrt{2}$，0），且四邊形ABCD的面積為$\frac{16}{3}$，則雙曲線C₁的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先聯(lián)立方程組可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x=y=±$\frac{ab}{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}$，求出四邊形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)面積得打a，b的方程，再根據(jù)a²+b²=c²=2，解得a的值，再根據(jù)離心率公式計(jì)算即可．

解答 解：聯(lián)立方程組可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x=y=±$\frac{ab}{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}$，
∵AB=AD=$\frac{2ab}{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}$，
∴$\frac{4{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{16}{3}$，
∴$\frac{^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
即$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{3}{4}$，①
∵a²+b²=c²=2，②，
由①②，解得a=2（舍去）或a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和離心率的問(wèn)題，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題