如圖,在邊長為1的等邊△ABC中,D、E分別為邊AB、AC上的點,若A關(guān)于直線DE的對稱點A1恰好在線段BC上,

(1)①設(shè)A1Bx,用x表示AD;②設(shè)∠A1ABθ∈[0º,60º],用θ表示AD
(2)求AD長度的最小值.
(1) y (0≤x≤1), AD·  θ∈[0º,60º]
(2) AD長度的最小值為2-3 當且僅當時取得最小值.

試題分析:(1)設(shè)A1BxADy,在△A1BD中,BD=1-y,A1DADy,有余弦定理得
y2=(1-y)2x2-2x(1-y)cos60º=(1-y)2x2xxyx2xxy-2y+1=0
y (0≤x≤1),
設(shè)∠A1ABθ∈[0º,60º],則在△A1BA中,由正弦定理得:
 ∴AA1
AD·     θ∈[0º,60º]
(2)y (0≤x≤1),令t=2-x∈[1,2]∴yt-3≥2-3
當且僅當t,即x=2-時等號成立.AD長度的最小值為2-3.
AD·    θ∈[0º,60º]
∵4sin(θ+60º)·cosθ=2sinθ·cosθ+2cos2θ=sin2θ (1+cos2θ)=sin2θcos2θ=2sin(2θ+60º)+
θ∈[0º,60º]∴2θ+60º∈[60º,180º]∴sin(2θ+60º)∈[0,1]
∴4sin(θ+60º)·cosθ∈[,2+]∴AD (2-)=2-3∴AD長度的最小值為2-3 當且僅當時取得最小值.
點評:本小題主要考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,同時考查利用三角公式進行恒等變形的技能和運算能力
練習冊系列答案
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