Question

8．已知函數(shù)g（x）=x²-ax+b，其圖象對稱軸為直線x=2，且g（x）的最小值為-1，設(shè)f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若不等式f（3^x）-t•3^x≥0在x∈[-2，2]上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（|2^x-2|）+k•$\frac{2}{|{2}^{x}-2|}$-3k=0有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)g（x）=x²-ax+b，其圖象對稱軸為直線x=2，且g（x）的最小值為-1，可得實數(shù)a，b的值；
（2）若不等式f（3^x）-t•3^x≥0在x∈[-2，2]上恒成立，t≤$3•（\frac{1}{{3}^{x}}）^{2}-4（\frac{1}{{3}^{x}}）+1$在x∈[-2，2]上恒成立，進而得到實數(shù)t的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（|2^x-2|）+k•$\frac{2}{|{2}^{x}-2|}$-3k=0有三個不同的實數(shù)解，則方程t²-（4+3k）t+（3+2k）=0有兩個根，其中一個在區(qū)間（0，2）上，一個在區(qū)間[2，+∞），進而可得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)g（x）=x²-ax+b，其圖象對稱軸為直線x=2，
∴$\frac{a}{2}$=2，
解得：a=4，
當x=2時，函數(shù)取最小值b-4=-1，
解得：b=3，
（2）由（1）得：g（x）=x²-4x+3，
f（x）=x-4+$\frac{3}{x}$
若不等式f（3^x）-t•3^x≥0在x∈[-2，2]上恒成立，
則t≤$3•（\frac{1}{{3}^{x}}）^{2}-4（\frac{1}{{3}^{x}}）+1$在x∈[-2，2]上恒成立，
當3^x=$\frac{2}{3}$，即x=log₃2-1時，$3•（\frac{1}{{3}^{x}}）^{2}-4（\frac{1}{{3}^{x}}）+1$取最小值-$\frac{1}{3}$，
故t≤-$\frac{1}{3}$，
（3）令t=|2^x-2|，t≥0，
則原方程可化為：t+$\frac{3}{t}$-4+$\frac{2k}{t}$-3k=0，
即t²-（4+3k）t+（3+2k）=0，
若關(guān)于x的方程f（|2^x-2|）+k•$\frac{2}{|{2}^{x}-2|}$-3k=0有三個不同的實數(shù)解，
則方程t²-（4+3k）t+（3+2k）=0有兩個根，
其中一個在區(qū)間（0，2）上，一個在區(qū)間[2，+∞），
令h（t）=t²-（4+3k）t+（3+2k），
則$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ h（0）＞0\\ h（2）≤0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}（4+3k）^{2}-4（3+2k）＞0\\ 3+2k＞0\\ 4-2（4+3k）+（3+2k）≤0\end{array}\right.$，
解得：k∈[-$\frac{1}{4}$，+∞）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，方程根的個數(shù)，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．