Question

設(shè)f₁（x）=

2

x+1

，而f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，n∈N^*，記a_n=

fn(2)-1

fn(2)+2

，則數(shù)列的通項公式a_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)f₁（x）=

2

x+1

，定義f_n+1 （x）=f₁[f_n（x）]，a_n=

fn(2)-1

fn(2)+2

，（n∈N^*）．可得f₁（2）=

2

3

，a₁=-

1

8

，f_n+1（2）=f₁[f_n（2）]=

2

fn(2)+1

，從而可得a_n+1=-

1

2

a_n．可判斷數(shù)列{a_n}是的等比數(shù)列，故可求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）∵f₁（2）=

2

3

，
∴a₁=

f1(2)-1

f1(2)+2

=

2 3 -1

2 3 +2

=-

1

8

，
又f_n+1（2）=f₁[f_n（2）]=

2

fn(2)+1

，
∴a_n+1=

fn+1(2)-1

fn+1(2)+2

=

2 fn(2)+1 -1

2 fn(2)+1 +2

=

1-fn(2)

4+2fn(2)

=-

1

2

•

fn(2)-1

fn(2)+2

=-

1

2

a_n．
∴數(shù)列{a_n}是首項為-

1

8

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n=（-

1

8

）•(-

1

2

)^n-1=

1

4

•(-

1

2

)n．
故答案為：

1

4

•(-

1

2

)n．

點評：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合、數(shù)列遞推式及等比數(shù)列的通項公式，考查學生的推理論證能力，屬中檔題．