Question

函數(shù)f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*)，定義使f（1）•f（2）•f（3）…f（k）為整數(shù)的數(shù)k（k∈N^*）叫做企盼數(shù)，則在區(qū)間[1，2013]內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有

 

個．

Answer 1

考點：換底公式的應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令g（k）=f（1）•f（2）•f（3）…f（k），利用對數(shù)的換底公式可得f（k）=log_（k+1）（k+2）=

lg(k+2)

lg(k+1)

，
得到g（k）=

lg3

lg2

×

lg4

lg3

×…×

lg(k+2)

lg(k+1)

=

lg(k+2)

lg2

=log₂（k+2）．
要使g（k）成為企盼數(shù)，則k+2=2ⁿ，n∈N^*．由于k∈[1，2013]，即2ⁿ∈[3，2015]即可得出．

解答： 解：令g（k）=f（1）•f（2）•f（3）…f（k），
∵f（k）=log_（k+1）（k+2）=

lg(k+2)

lg(k+1)

，
∴g（k）=

lg3

lg2

×

lg4

lg3

×…×

lg(k+2)

lg(k+1)

=

lg(k+2)

lg2

=log₂（k+2）．
要使g（k）成為企盼數(shù)，則k+2=2ⁿ，n∈N^*．
∵k∈[1，2013]，∴（k+2）∈[3，2015]，即2ⁿ∈[3，2015]．
∵2²=4，2¹⁰=1024，2¹¹=2048．
可取n=2，3，…，10．
因此在區(qū)間[1，2013]內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有9個．

點評：本題考查了對數(shù)的換底公式、新定義企盼數(shù)的意義、指數(shù)冪2ⁿ的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．