Question

17．已知函數(shù)f（x）滿足如下條件：①任意x∈R，有f（x）+f（-x）=0成立；②當(dāng)x≥0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-m²|+|x-2m²|-3m²）；③任意x∈R，有f（x）≥f（x-1）成立．則實數(shù)m的取值范圍（　�。�

• A． $[{-\frac{{\sqrt{6}}}{6}，\frac{{\sqrt{6}}}{6}}]$
• B． $[{-\frac{1}{6}，\frac{1}{6}}]$
• C． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• D． $[{-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}}]$

Answer 1

分析 化簡f（x）在[0，+∞）上的解析式，根據(jù)f（x）的奇偶性做出函數(shù)圖象，根據(jù)條件③得出不等式解出．

解答 解：∵f（x）+f（-x）=0，∴f（x）是奇函數(shù)．
當(dāng)m=0時，f（x）=x，顯然符合題意．
當(dāng)m≠0時，f（x）在[0，+∞）上的解析式為：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，0≤x≤{m}^{2}}\\{-{m}^{2}，{m}^{2}＜x＜2{m}^{2}}\\{x-3{m}^{2}，x≥2{m}^{2}}\end{array}\right.$，
做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵任意x∈R，有f（x）≥f（x-1）成立，
∴6m²≤1，解得-$\frac{\sqrt{6}}{6}$≤m≤$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故選A．

點評 本題考查了奇函數(shù)的判斷與性質(zhì)，函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于中檔題．