Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（kx+4k+2）+1恒過(guò)一定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在直線

y

b

-

x

a

=2（a＞0，b＞0）上，則3a+2b的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由條件求得定點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P在直線

y

b

-

x

a

=2（a＞0，b＞0）上，利用基本不等式求得3a+2b=（3a+2b）（

1

b

+

2

a

 ） 的最小值．

解答： 解：由于函數(shù)t=kx+4k+2=k（x+4）+2 的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-4，2），可得函數(shù)f（x）=log₂（kx+4k+2）+1恒過(guò)一定點(diǎn)P（-4，2）．
由點(diǎn)P在直線

y

b

-

x

a

=2（a＞0，b＞0）上，可得

2

b

-

-4

a

=2，即

2

b

+

4

a

=2，

1

b

+

2

a

=1，
則3a+2b=（3a+2b）（

1

b

+

2

a

 ）=8+

3a

b

+

4b

a

≥8+2

12

=8+4

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

3a

b

=

4b

a

時(shí)，取等號(hào)，故3a+2b的最小值為8+4

3

，
故答案為：8+4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．