Question

19．已知f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且當x₁＜x₂時，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，設p：“f（m²+3）+f（12-8m）＜0”．
（1）若p為真，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設q：集合A={x|（x+1）（4-x）≤0}與集合B={x|x＜m}的交集為{x|x≤-1}，若p∧q為假，p∨q為真，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（m²+3）＜f（8m-12），再根據(jù)f（x）單調(diào)遞增可得m²+3＜8m-12，由此求得實數(shù)m的取值范圍．
（2）先求出A，分p真q假、p假q真分別求得m的范圍，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）+f（-x）=0，
∵當x₁＜x₂時，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，∴函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．
∵f（m²+3）+f（12-8m）＜0，∴f（m²+3）＜-f（12-8m）=f（8m-12），∴m²+3＜8m-12，
若p為真，則m²-8m+15＜0，解得3＜m＜5．
（2）A={x|x≤-1或x≥4}，若q為真，則-1＜m≤4．
∵p∧q為假，p∨q為真，∴p、q一真一假．
若p真q假，則4＜m＜5；若p假q真，則-1＜m≤3．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是（-1，3]∪（4，5）．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應用，復合命題的真假，屬于中檔題．