Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+bx
（Ⅰ）當(dāng)a=2，且f（x）是R上的增函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)b=-2，且對任意a∈（-2，4），關(guān)于x的程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）去絕對值號得f(x)=x|x-2|+bx=

x2+(b-2)x，x≥2 -x2+(b+2)x，x≤2

，f（x）在R上遞增等價于這兩段函數(shù)分別遞增，從而解得；
（Ⅱ）f(x)=x|x-a|-2x=

x2-(a+2)x，x≥a -x2+(a-2)x，x≤a

，tf（a）=-2ta，討論a以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=x|x-2|+bx=

x2+(b-2)x，x≥2 -x2+(b+2)x，x≤2

，
因為f（x）連續(xù)，
所以f（x）在R上遞增等價于這兩段函數(shù)分別遞增，
所以

2-b 2 ≤2 2+b 2 ≥2

，
解得，b≥2；
（Ⅱ）f(x)=x|x-a|-2x=

x2-(a+2)x，x≥a -x2+(a-2)x，x≤a

，tf（a）=-2ta，
當(dāng)2≤a≤4時，

a-2

2

＜

a+2

2

≤a，
f（x）在（-∞，

a-2

2

）上遞增，在（

a-2

2

，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，
所以f_極大（x）=f（

a-2

2

）=

a2

4

-a+1，
f_極小（x）=f（a）=-2a，
所以

-2a＜-2ta a2 4 -a+1＞-2ta

對2≤a≤4恒成立，
解得：0＜t＜1，
當(dāng)-2＜a＜2時，

a-2

2

＜a＜

a+2

2

，
f（x）在（-∞，

a-2

2

）上遞增，在（

a-2

2

，

a+2

2

）上遞減，在（

a+2

2

，+∞）上遞增，
所以f_極大（x）=f（

a-2

2

）=

a2

4

-a+1，
f_極小（x）=f（

a+2

2

）=-

a2

4

-a-1，
所以-

a2

4

-a-1＜-2ta＜

a2

4

-a+1對-2＜a＜2恒成立，
解得：0≤t≤1，
綜上所述，0＜t＜1．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．