Question

若函數(shù)f（x）=Asin（ωx+

π

2

）+b（A＞0，ω＞0）的最小正周期為

π

2

，在一個(gè)周期內(nèi)最大值和最小值之和為2，且方程f（x）=A的三個(gè)最小的不同正根按照從小到大的順序恰好構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）試求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）的圖象向下平移一個(gè)單位，再向左平移

π

12

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x），試在如圖所給的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=g（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+

π

2

）+b（A＞0，ω＞0）的最小正周期為

π

2

，可得ω=4，由在一個(gè)周期內(nèi)最大值和最小值之和為2，可得b=1，由方程f（x）=A的三個(gè)最小的不同正根按照從小到大的順序恰好構(gòu)成等比數(shù)列，可設(shè)f（x）=A可設(shè)三個(gè)最小正根依次為a，aq，aq²（其中a＞0，q＞0）解出a值后代入f（x）=A可得A的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；
（2）將f（x）=

2

3

cos4x+1的圖象向下平移一個(gè)單位，再向左平移

π

12

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）=

2

3

cos（4x+

π

3

）的圖象，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：函數(shù)y=g（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+

π

2

）+b（A＞0，ω＞0）的最小正周期為

π

2

，
∴ω=

2π

π 2

=4，
又∵在一個(gè)周期內(nèi)最大值和最小值之和為2，
∴b=1（2分）
∴f（x）=Asin（4x+

π

2

）+1=Acos4x+1（3分）
∵方程f（x）=A的三個(gè)最小的不同正根按照從小到大的順序恰好構(gòu)成等比數(shù)列．
∴f（x）=A可設(shè)三個(gè)最小正根依次為a，aq，aq²（其中a＞0，q＞0）
則有

a+aq= π 2 aq2=a+ π 2

，
解得：a=

π

6

，q=2（5分）
將a=

π

6

代入f（x）=A可得：
Acos

2π

3

+1=A，即-

1

2

A+1=A，
解得：A=

2

3

，
∴f（x）=

2

3

cos4x+1；（7分）
（2）將f（x）=

2

3

cos4x+1的圖象向下平移一個(gè)單位，再向左平移

π

12

個(gè)單位，
得到函數(shù)y=g（x）=

2

3

cos4（x+

π

12

）=

2

3

cos（4x+

π

3

）的圖象，（9分）
函數(shù)y=g（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下圖所示：
（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象畫法，難度中檔．