【題目】已知橢圓的右焦點為,點在橢圓.

1)求橢圓的方程;

2)若不經過點的直線與橢圓相交于不同的兩點,且直線與直線的斜率之和為1,試判斷直線是否過定點.若過定點,請求出該定點;若不過定點,請說明理由.

【答案】1;(2)直線過定點.

【解析】

1)先利用橢圓定義求出的值,結合的值可求出的值,從而得出橢圓的方程;

2)先假設直線的斜率存在,設出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,列出韋達定理,再依據(jù)兩直線斜率之和為1,得出含有的式子,利用因式分解,可得的關系,最后討論不存在的情況即可.

解:(1)易知,橢圓的左焦點為,由橢圓定義可得,∴,

所以,,因此,橢圓的方程為;

2)設點、

①當直線的斜率存在時,設直線的方程為,易知.

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去,

由韋達定理得,.

直線和直線的斜率之和為.

化簡得,即,

由于,所以,,所以,.

所以,直線的方程為,直線過定點;

②當直線軸垂直時,設直線的方程為,此時點與點關于軸對稱,則,直線和直線的斜率之和為,得.

此時,直線也過點.

綜上所述,直線過定點.

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