【題目】有個人聚會，已知：

（1）每個人至少同其中個人互相認識；

（2）對于其中任意個人，或者其中有2人相識，或者余下的人中有2人相識，證明：這個人中必有3人兩兩相識.

【答案】見解析

【解析】

假設(shè)這個人中無3人彼此相識.

設(shè)，是這個人中相識的2人，由反證假設(shè)可推出余下的個人中，無1人與，皆相識.因此，至少有個不同的人，其中每個人或同相識，或同相識.

當為偶數(shù)時，由上述討論可知，這個人中恰有一半人與相識，而另一半人則與相識.于是，由題設(shè)可推出在某一半人中必含2個相識的人.這與反證假設(shè)矛盾.

當為奇數(shù)時，.若這幾個人中每人與或相識，則與上述討論類似，可推出矛盾.

不然，存在，他同，皆不相識，于是，個人中除之外的個人中必有一半與相識，另一半與相識.所有相識的人互不相識，所有與相識的人也互不相識.

假設(shè)有個人同，皆相識，個人同，皆相識，不難由題設(shè)推出，并且這個人構(gòu)成與相識的人的全部.因而，.不妨設(shè)，由可知.

設(shè)同，皆相識，與同，皆相識（如圖），由于個人中同相識的人至少為個，他們中除外同都相識，故必與，之一相識.不妨設(shè)與相識，則，與是彼此相識的人，此與反證假設(shè)相矛盾.因此命題為真.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)與，若對任意的，都存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是______.

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（Ⅰ）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)．

（Ⅱ）已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．

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【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.

求證:(1)CM∥平面PAD.

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(1)求橢圓的標準方程.

(2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍.

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【題目】若函數(shù)定義域為，且對任意實數(shù)，有，則稱為“形函數(shù)”，若函數(shù)定義域為，函數(shù)對任意恒成立，且對任意實數(shù)，有，則稱為“對數(shù)形函數(shù)” .

（1）試判斷函數(shù)是否為“形函數(shù)”，并說明理由；

（2）若是“對數(shù)形函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若是“形函數(shù)”，且滿足對任意，有，問是否為“對數(shù)形函數(shù)”？證明你的結(jié)論．

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【題目】游樂場的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，其中心O距地面40.5m，半徑40m.若從最低點處登上座天輪，那么人與地面的距離將隨時間變化，5min后達到最高點，在你登上摩天輪時開始計時，

（1）求出人與地面距離y與時間t的函數(shù)解析式；

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【題目】如圖，已知點列、、、、（）依次為函數(shù)圖像上的點，點列、、、（）依次為軸正半軸上的點，其中（），對于任意，點、、構(gòu)成一個頂角的頂點為的等腰三角形.

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）證明：為常數(shù)，并求出數(shù)列的前項和；

（3）在上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出值，若不存在，請說明理由.

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（1）若直線與圓有公共點，試求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，過點且與直線平行的直線交圓于兩點，求的值.

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