Question

某沿海地區(qū)在保護(hù)環(huán)境與發(fā)展經(jīng)濟(jì)方面制定了一個(gè)長期規(guī)劃藍(lán)圖，其中有一個(gè)退耕還林與鹽堿地改造工程．已知需要退耕還林的總面積為640km²，每年退耕還林的面積相等；鹽堿地改造工程計(jì)劃用10年時(shí)間完成，第一年內(nèi)改造面積20km²，前4年每年以100%的增長率改造，然后從第5年開始，每年度比上一年減少20km²．
（1）若是10年后該地區(qū)未退耕還林的面積與改造過的鹽堿地的面積之和正好比目前需要退耕還林的面積翻一番，則每年退耕還林的面積是多少？
（2）設(shè)第n年（1≤n≤10且n∈N）鹽堿地改造的總面積為S_n，求S_n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意可得：退耕還林的面積10a，計(jì)算鹽堿地改造面積運(yùn)用等比數(shù)列，等差數(shù)列求和公式求解，
（2）分類討論：當(dāng)1≤n≤4時(shí)，運(yùn)用等比數(shù)列求和公式得；S_n=

20×(1-2n)

1-2

=20（2ⁿ-1），
當(dāng)5≤n≤10時(shí)，S_n=300+140×（n-4）-

1

2

×（n-4）×（n-5）×20=-10n²+230n-460，注意項(xiàng)的個(gè)數(shù)為n-4，公差為-20．

解答： 解：（1）設(shè)每年退耕還林的面積為akm²，
根據(jù)題意可得：退耕還林的面積10a，
鹽堿地改造面積為：20+40+80+160=300，
140×6-

6×5

2

×20=540，
∴鹽堿地改造總面積為840
∵若是10年后該地區(qū)未退耕還林的面積與改造過的鹽堿地的面積之和正好比目前需要退耕還林的面積翻一番，
∴10a+840=1280，
a=44，
故每年退耕還林的面積是44km²，
（2）鹽堿地改造的總面積S_n，
當(dāng)1≤n≤4時(shí)，S_n=

20×(1-2n)

1-2

=20（2ⁿ-1），
當(dāng)5≤n≤10時(shí)，S_n=300+140×（n-4）-

1

2

×（n-4）×（n-5）×20=-10n²+230n-460
所以鹽堿地改造的總面積S_n=

20(2n-1)，1≤n≤4 -10n2+230n-460，5≤n≤10

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，注意分類討論，求解數(shù)列的和．屬于難題．