Question

18．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=ax²-（a+1）x+1（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)h（x）=f（x）+g（x），求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤g（x）+lnx，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為只需h（x）=ax-lnx-1≥0即可，通過討論a的范圍，求出h（x）的最小值，從而確定a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=0時(shí)，h（x）=f（x）+g（x）=xlnx-x+1，
∴h'（x）=lnx，
由h'（x）＜0，得x∈（0，1），由h'（x）＞0，得x∈（1，+∞），
∴h（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；…（4分）
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）+lnx，得（x-1）lnx≤（ax-1）（x-1），
因?yàn)閤≥1，所以：（�。┊�(dāng)x=1時(shí)，a∈R．
（ⅱ）當(dāng)x＞1時(shí)，可得lnx≤ax-1，令h（x）=ax-lnx-1，
則只需h（x）=ax-lnx-1≥0即可，
因?yàn)閔′（x）=a-$\frac{1}{x}$，且0＜$\frac{1}{x}$＜1，
①當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＜0，得h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
且可知h（e）=ae-2＜0這與h（x）=ax-lnx-1≥0矛盾，舍去；
②當(dāng)a≥1時(shí)，h′（x）＞0，得h（x）=ax-lnx-1在（1，+∞）上是增函數(shù)，
此時(shí)h（x）=ax-lnx-1＞h（1）=a-1≥0．
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可得 h（x）在（1，$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）單調(diào)遞增，
∴h（x）min=h（$\frac{1}{a}$）=lna＜0矛盾，
綜上：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）≤g（x）+lnx恒成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．