Question

3．設函數(shù)f（x）=x²-2ex-$\frac{lnx}{x}$+a（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)f（x）至少存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（{0，{e^2}-\frac{1}{e}}]$
• B． $（{0，{e^2}+\frac{1}{e}}]$
• C． $[{{e^2}-\frac{1}{e}，+∞}）$
• D． $（{-∞，{e^2}+\frac{1}{e}}]$

Answer 1

分析 令f（x）=0，求出a=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$，構造函數(shù)h（x）=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答 解：令f（x）=x²-2ex-$\frac{lnx}{x}$+a=0，
則a=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}（{x＞0}）$，
設h（x）=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$，
令h₁（x）=-x²+2ex，h₂（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴h₂′（x）=$\frac{1-lnx}{x^2}$，發(fā)現(xiàn)函數(shù)h₁（x），h₂（x）在（0，e）上都是單調(diào)遞增，在[e，+∞）上都是單調(diào)遞減，
∴函數(shù)h（x）=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$在（0，e）上單調(diào)遞增，在[e，+∞）上單調(diào)遞減，
故當x=e時，得h（x）_min=e²+$\frac{1}{e}$，
∴函數(shù)f（x）至少存在一個零點需滿足a≤h（x）_max，
即a≤e²+$\frac{1}{e}$．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質的應用問題，以及函數(shù)與方程的關系，進行解答，是易錯題．